Question

求线性方程组A^T x=B的解

A=1 1 1 …… 1
a1 a2 a3 an
a1^2 a2^2 a3^2 an^2
……
a1^n-1 a2^n-1 a3^n-1 an^n-1

x=(x1 x2 …… xn)T
B=(1 1 …… 1)T
其中ai≠aj (i≠j,I,j=1,2,…n),则线性方程组A^T x=B的解是多少？

Answer 1

系数矩阵A^T的行列式是 Vandermonde 行列式的转置,
故有
|A^T| = |A| = ∏ (1<=j<i<=n) (aj-ai)
由 ai≠aj (i≠j,I,j=1,2,…n), |A^T|≠0, 所以方程组有唯一解.
由Crammer法则 xi = Di/D.
Di 是用常数列B替换系数矩阵A^T的第i列得到的行列式
易知 D1 = D, Di = 0 ,i=2,3,...,n
所以 线性方程组A^T x=B 的解为: 1,0,0,...,0.