Question

已知等差数列an的前n项和为sn，且s10=55，s20=210，设bn=an/an+1，是否存在m，k∈正整数

使得b1、bm、bk成等差数列。若存在，求所有符合条件的m、k的值，不存在请说明理由
问题“使得b1、bm、bk成等差数列”改为等比数列，

Answer 1

an=n，所以bn=n/n+1
假设存在，1<m<k，b1=1/2,bm=m/(m+1).bk=k/(k+1)
b1,bm.bk是等差数列，有2bm=b1+bk
2m/(m+1)=1/2+k/(k+1)
2m*2(k+1)=(m+1)(k+1)+2k(m+1)
4mk+4m=mk+m+k+1+2mk+2k
mk+3m=3k+1
因为m>1，所以mk<3k，所以m<3
有因为m>1所以m=2
而当m=2时，bm=2/3，bk=2/5，所以整数k不存在
所以不存在mk使得b1、bm、bk成等差数列

追问

不好意思，问题打错了，请帮助

追答

晕,难度加大了很多~
an=n，所以bn=n/n+1
假设存在，1<m<k，b1=1/2,bm=m/(m+1).bk=k/(k+1)
b1,bm.bk是等比数列，则有bm^2=b1bk
m^2/(m+1)^2=k/2(k+1)
2m^2/(m^2+2m+1)=k/(k+1)<1
2m^2/(m^2+2m+1)<1
所以2m^2<m^2+2m+1
m^2<2m+1
这个你应该会求了吧？满足条件的m只有一个就是1，又因为m大于1，所以和假设矛盾，不存在

追问

m^2<2m+1
求出来m属于1加减根号2
则0《m《1+根号2
则m可取2
k=8
对不对

追答

对哦 m还可以取2，嘿嘿，对的对的，我都没算到2，呵呵 太久没念高中都忘记了……

Answer 2

存在，因为bn=n / (n + 1), 所以，m = 3, k = 5就是一组，那么，所有满足条件的 k和m都满足(k+1)(3-m)=2m+2