Question

利用定积分求极限的题

求大神帮忙看看这三个怎么做

Answer 1

可以用定积分来算

答案如图所示

Answer 2

如图，仅供参考

Answer 3

(a)
lim(n->+∞) [ 1/n +n^2/(n+1)^3+...+n^2/(8n^3)]
=lim(n->+∞) ∑(i:0->n) n^2/(n+i)^3
=lim(n->+∞) (1/n) ∑(i:0->n) 1/(1+i/n)^3
=∫(0->1) dx/(1+x)^3
= -(1/2)[ 1/(1+x)^2]|(0->1)
=(1/2)( 1 - 1/4)
=3/8
(b)
lim(n->+∞) (1/n)[ sin(π/n) +sin(2π/n)+...+sin(nπ/n)]
=lim(n->+∞) (1/n)∑(i:1->n) sin(πi/n)
=∫(0->1) sin(πx) dx
=-(1/π)[ cos(πx)]|∫(0->1)
=-(1/π)( -1 -1)
=2/π
(c)
L =lim(n->+∞) { (1+1/n)(1+2/n)...(1+4n/n)}^(1/n)
lnL
=lim(n->+∞) (1/n) ∑(i:1->4n) ln(1+i/n)
=∫(0->4) ln(1+x) dx
=[xln(1+x)]|(0->4) -∫(0->4) x/(1+x) dx
=4ln5 -∫(0->4) [ 1- 1/(1+x)] dx
=4ln5 -[ x- ln|1+x|] |(0->4)
=4ln5 - [( 4-ln5)]
=5ln5-4
L = e^[5ln5 -4] =3125e^(-4)

Answer 4

(a)lim(n–>∞) [1/n＋n²/(n＋1)³＋n²/(n＋2)³＋……＋n²/(n＋n)³]
=lim(n–>∞) 1/n · [n³/(n＋0)³＋n³/(n＋1)³＋……＋n³/(n＋n)³]
=lim(n–>∞)1/n ·[1/(1＋0/n)³＋1/(1＋1/n)³＋1/(1＋2/n)³＋……＋1/(1＋n/n)³]
=∫(0，1) 1/(1＋x)³dx
=–1/[2(1＋x)²]|(0，1)
=–1/8＋1/2=3/8
(b)原式=∫(0，1) sinπxdx
=–1/π cosπx|(0，1)
=1/π＋1/π=2/π
(c)A=lim(n–>∞) [(1＋1/n)(1＋2/n)……(1＋4n/n)]^(1/n)
lnA=lim(n–>∞) 1/n [ln(1＋1/n)＋ln(1＋2/n)＋……＋ln(1＋4n/n)]
=∫(0，4) ln(1＋x)dx
=xln(1＋x) |(0，4) –∫(0，4)[1–1/(1＋x)]dx
=4ln5–(x–ln|1＋x|)|(0，4)
=4ln5–(4–ln5)
=5ln5–4=ln(5^5 /e^4)
A=(5^5)·e^(–4)

Answer 5

(a)，设k=0,1，2……，n。原式=lim(n→∞)∑(1/n)[1/(1+k/n)]³=∫(0,1)dx/(1+x)³=…=3/8。

(b)，设k=0,1，2……，n。原式=lim(n→∞)∑(1/n)sin(πk/n)=∫(0,1)sin(πx)dx=…=2/π。
(c)，设k=0,1，2……，4n-1,4n。原式=e^[lim(n→∞)∑(1/n)ln(1+k/n)]=e^[∫(0,4)ln(1+x)dx]。
而，∫(0,4)ln(1+x)dx=[(1+x)ln(1+x)-x]丨(x=0,4)=5ln5-4。∴原式=e^(5ln5-4)=(5^5)/e^4。
供参考。