关于放缩法的一道题目(高中数学)
已知数列{an}的首项a1=3/5,a(n+1)=3an/2an+1,n=1,2,3........,(1)求an的通项公式;(2)证明;对任意的x>0,an≥1/1+x...
已知数列{an}的首项a1=3/5,a(n+1)=3an/2an+1,n=1,2,3........,
(1)求an的通项公式;
(2)证明;对任意的x>0,an≥1/1+x-1/(1+x)²[(2/3^n)-x],n=1,2,...;
(3)证明;a1+a2+...+an>n²/n+1
第一问的通项公式是an=3^n/3^n+2
第二问我也懂了
第三问的证明是 对任意的x>0,有
a1+a2+a3+....+an≥1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3-X)+1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3²-X)+...+1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3^n-X)=n/(1+x)-1/(x+1)²(2/3+2/3²+....+2/3^n-nx)
当x=1/n(2/3+2/3²+....+2/3^n)?
这个当x=1/n(2/3+2/3²+....+2/3^n)是什么意思?怎么会这样做了? 展开
(1)求an的通项公式;
(2)证明;对任意的x>0,an≥1/1+x-1/(1+x)²[(2/3^n)-x],n=1,2,...;
(3)证明;a1+a2+...+an>n²/n+1
第一问的通项公式是an=3^n/3^n+2
第二问我也懂了
第三问的证明是 对任意的x>0,有
a1+a2+a3+....+an≥1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3-X)+1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3²-X)+...+1/(1+x)-1/(1+x)²(2/3^n-X)=n/(1+x)-1/(x+1)²(2/3+2/3²+....+2/3^n-nx)
当x=1/n(2/3+2/3²+....+2/3^n)?
这个当x=1/n(2/3+2/3²+....+2/3^n)是什么意思?怎么会这样做了? 展开
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因为前面已经证明了对于任意的x>0,不等式an≥1/1+x-1/(1+x)²[(2/3^n)-x]成立,
请注意“对于任意的x>0",此话的意思就是我们可以在x>0的前提下进行假设,比如你可以假设x=1,也可以设x=2,但从此题的情况来看,设x=(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n >0可以使不等式的计算来得更简便些,因为x=(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n,则nx=2/3+2/3²+....+2/3^n,那么右边不等式的第二项就等于0
这时不等式就变成
a1+a2+a3+....+an≥n/(1+x)
=n/[1+(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n]
=n^2/[n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n^2/(n+1-1/3^n)
>n^2/(n+1)
因为1/3^n>0
所以n^2/(n+1-1/3^n)>n^2/(n+1),
请注意“对于任意的x>0",此话的意思就是我们可以在x>0的前提下进行假设,比如你可以假设x=1,也可以设x=2,但从此题的情况来看,设x=(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n >0可以使不等式的计算来得更简便些,因为x=(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n,则nx=2/3+2/3²+....+2/3^n,那么右边不等式的第二项就等于0
这时不等式就变成
a1+a2+a3+....+an≥n/(1+x)
=n/[1+(2/3+2/3²+....+2/3^n)/n]
=n^2/[n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n^2/(n+1-1/3^n)
>n^2/(n+1)
因为1/3^n>0
所以n^2/(n+1-1/3^n)>n^2/(n+1),
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