Question

设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中...

设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中任意不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列为“F数列”． （1）若a1=4，d=2，判断该数列是否为“F数列”． （2）若a1，d∈N，是否存在这样的“F数列”，使S10≤70？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）试问：数列{an}为“F数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．

Answer 1

（本小题满分16分）
解 （1）由题意，an=2n+2，对于任意m，n有am+an=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N*，
于是令P=m+n+1，则有ap=2p+2∈{an}，
所以数列{an}为“F数列”．------------（4分）
（2）假设存在数列{an}满足条件，即10a1+45d≤70，则a1和d的可能值
①d=0，a1=0，1，2，3，4，5，6，7，此时an=0是“F数列”
②d=1，a1=0，1，2 此时an=n-1，an=n，an=n+1均为“F数列
所以满足条件的数列通项公式为an=0，an=n-1，an=n，an=n+1-----------------（8分）
（3）结论：数列{an}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md------（10分）
证明：ⅰ） 充分性 若存在整数m≥-1使a1=md，则任取等差数列的两项as，at（s≠t）
因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数，
于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+（s+t+m-2）d=am+s+t-1∈{an}-------（12分）
ⅱ） 必要性 任取等差数列的两项as，at（s≠t），若存在ak使得as+at=ak
则2a1+（s+t-2）d=a1+（k-1）d，于是a1=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z
使a1=md，下面证明m≥-1．
当d=0，显然成立
当d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥-2，对不同的两项a1，ap，存在aq使a1+ap=aq．
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾
故存在整数m≥-1使a1=md-----------------------------------------（16分）