Question

设x＋y＋z＝1，则x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2的最小值为(　　)

Answer 1

由x＋y＋z＝1，两边平方，得：x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2xz＋2yz＝1。
所以：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2
＝（x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2xz＋2yz）＋（x^2＋y^2＋z^2－xy－xz－yz）
＝1＋［（x^2－2xy＋y^2）＋（y^2－2yz＋z^2）＋（x^2－2xz＋z^2）］/2
＝1＋［（x－y）^2＋（y－z）^2＋（x－z）^2］/2
≥1
即：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2的最小值是1。

Answer 2

x＋y＋z＝1
(x＋y＋z)^2＝1=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2
=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1+(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1+1/2(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)
=1+1/2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]≥3/2
当且仅当x=y=z=1/3等号成立

Answer 3

1