Question

如图所示,已知在梯形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,且BD垂直DC,求证:梯

（1）求证 ：梯形ABCD是等腰梯形
（2）当CD=1，求等腰梯形ABCD的周长

Answer 1

证明：（1）∵∠ABC=60°,BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=30°
又 ∵AD平行BC, BD垂直DC
∴∠ADB=∠DBC=∠ABD
∴AB=AD
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+90°=120°
∴∠C=180°-∠ADC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形。
（2）在Rt△BCD中，∠DBC=30°,CD=1
∴BC=2CD=2
由（1）有，AB=AD=CD=1
∴梯形的周长为：1+1+1+2=5

Answer 2

1.已知∠ABC=60°,BD平分∠ABC,得∠DBC=30°，在三角形BDC中，BD垂直DC，故∠BDC=90°，所以∠BCD=60°，因∠ABC=60°，故梯形是等腰梯形。
2.因为等腰，已知CD=1，故AB=1。在三角形BDC中，BD垂直DC，且∠DBC=30°，sin∠DBC=DC/BC=1/2，故BC=2.因为AD平行BC，故∠ADC 和∠BCD互补，已知∠BCD=60°，故∠ADC=120°。又知∠BDC=90°，故∠ADB=30°，在三角形ABD中，∠ABD=∠ADB=30°，故AD=AB=1，所以周长=AB+AD+DC+BC=1+1+1+2=5