Question

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如何求证？

Answer 1

已知：∠ACB=90°，CD为AB边上的中线。

求证：CD=1/2AB.

证明：如图，延长CD至点A’，使BA'∥CA。

∴∠A=∠ABA'，∠CBA'=90°。你可以证明△ADC≌△BDA'

∴AC=A'B，DC=DA'=1/2A'C.

你可以证明△ACB≌△A'BC。∴AB=A'C。∴CD=1/2A'C=1/2AB.

Answer 2

将斜边上的中线延长一倍后，则2倍中线与斜边互相平分，以它们为对角线构造平行四边形，因有一个直角则该平行四边形为矩形，所以2倍中线与斜边相等，也就是中线等于斜边的一半。

Answer 3

直角三角形内切于圆
斜边为圆的直径（圆周角=圆弧度数/2）
则斜边中点为圆心
斜边上的中线为半径=斜边/2
得证

Answer 4

延长CD至点E，使DE=DC。连结AE,BE.
因为DC=DE,AD=DB
所以四边形ACBE是平行四边形。
因为∠ACB=90
所以平行四边形ACBE是矩形。
所以AB=CE
即DC=1/2CE=1/2AB