Question

空间向量解立体几何的一些疑问

我刚完成三模卷，卷子很简单，但在对一道立体几何时出现了疑问。
题目第二问说“求直线BM与侧面PAB所成角X的值”最后大家得出一致结论是三分之根号二，但有人说是arcSIN三分之根号二,有人说是arcCOS三分之根号二,本人用向量解立体几何得出的结论一直是arccos***而且以前都没被批错过，为什么会有arcSIN***。而且高三拓展数学书上貌似还真有arcSIN这一说，就是用在直线与面的夹角问题上，这是怎么回事？
高考在即，拜托高手速度回答

Answer 1

求空间直线与侧面的夹角的真相：
1、求直线方向向量d与侧面法向量n的夹角（theta）
两个向量的夹角显而易见答案会是arcCOS(X)
2、然， 这个夹角并非所求直线与侧面的夹角（alfa）
事实上：alfa与eata互余
所以alfa=pi/2-theta(弧度制)
于是，theta=90-alfa
由于原来所得theta=arcCOS(X)
则X=COS(theta)=COS(pi/2-alfa)=SIN(alfa)
所以真相是：alfa=arcSIN(X) 即为所求

综上所述，arcSIN才是更为合理与直接的答案
然而 以上仅为传统解析方法
空间几何的魅力在于灵活多变， 不同的思考方式有不同的解法
arcSIN/arcCOS只是描述解的不同方式
若所描述的事同一个角，则并不矛盾

祝高考顺利

Answer 2

为什么一定要固定到arccos?最终重要的是得到角，arcsin/arccos都可以得到角度，没任何道理一直都是arccos的

Answer 3

arcsinx=π/2-arccosx