Question

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且满足f(x)=-f(x+32)...

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且满足f(x)=-f(x+32)，f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为( )A.1B.2C.-1D.-2

Answer 1

解答:解:∵f(x)=-f(x+
3
2
)，即f(x+
3
2
)=-f(x)，
∴f(x+3)=-f(x+
3
2
)=f(x)，
故函数f(x)为周期函数，且周期为3，
∵f(0)=-2，f(-1)=1，
∴f(3)=f(0)=-2，f(2)=f(3-1)=f(-1)=1，
∵定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)为R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，且f(-1)=1，
故f(1)=f(-1)=1，
∴f(1)+f(2)+f(3)=0，
根据函数f(x)的周期为3，
∴f(1)+f(2)+…+f(2015)=671×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=671×0+1+1=2，
故选:B.