Question

．(本题8分)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点

．(本题8分)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

(1)如图②，若M为AD边的中点，

①,△AEM的周长=_____cm；

②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
这是徐州市初中毕业升学考试27题主要是第2题，第1题不要，详细点Thanks！！！快一点~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~我还有事~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 1

解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，
∴MG= （AE+PD），
在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，
∴MG= EP，
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2
∴AE= （16-x2）
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C△PDM=C△MAE• =（4+x）• =8．
∴△PDM的周长保持不变．

Answer 2

解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，
∴MG= 12（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，
∴MG= 12EP，菁优网
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2
∴AE= 18（16-x2）
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴ C△PDMC△MAE=MDAE
∴C△PDM=C△MAE MDAE=（4+x） 4-x18(16-x2)=8．
∴△PDM的周长保持不变．

Answer 3

解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，
∴MG= 二分之一（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，
∴MG= 二分之一EP，
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2
∴AE= （16-x2）
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C△PDM=C△MAE• =（4+x）• =8．
∴△PDM的周长保持不变．

Answer 4

【分析】（1）由折叠的性质可知AE+EM=AE+BE，所以△AEM的周长=2+4=6；（2）取EP的中点G，连接MG，可知MG既是梯形AEPD的中位线，又是Rt△MEP的中线，由梯形和直角三角形的中线的性质可证；（3）设AM=xcm，利用勾股定理求得AE，由△AEM∽△DMP求得△PDM的周长．
【答案】解：（1）①6.
②解法一：取EP的中点G，连接MG.
梯形AEPD中，∵M、G分别是AD、EP的中点，∴MG= .
由折叠，得∠EMP=∠B=90°，又G为EP的中点，∴MG= .
故EP=AE+DP.

解法二：设AE=xcm，则EM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由 ，可得 ，解得 ，即AE .
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴ ，即DP= .
过点E作EQ⊥CD，垂足为点Q，得矩形AEQD,
∴EQ=AD=4,PQ= , ,
故EP=AE+DP.

（2）△PMD的周长保持不变.
证明：设AM=xcm，则DM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由 ，可得AE=2- .
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴ ，即 ，
∴ =8cm.
故△PMD的周长保持不变.

Answer 5

解：（1）由折叠知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，
∴MG= 12（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，
∴MG= 12EP，菁优网
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x，则MD=4-x．
由折叠性质可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4-AE）2
∴AE= 18（16-x2）
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴ C△PDMC△MAE=MDAE
∴C△PDM=C△MAE MDAE=（4+x） 4-x18(16-x2)=8．
∴△PDM的周长保持不变．

Answer 6

②解法一：取EP的中点G，连接MG.
梯形AEPD中，∵M、G分别是AD、EP的中点，∴MG= .
由折叠，得∠EMP=∠B=90°，又G为EP的中点，∴MG= .
故EP=AE+DP.

解法二：设AE=xcm，则EM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由 ，可得 ，解得 ，即AE .
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴ ，即DP= .
过点E作EQ⊥CD，垂足为点Q，得矩形AEQD,
∴EQ=AD=4,PQ= , ,
故EP=AE+DP.