Question

函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大...

函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R）， （1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值； （2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）恒成立的x取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，
∴f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得x=a3或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x
(-∞，a3)
a3
(a3，a)
a
（a，+∞）
f'（x）
-
0
+
0
-…（6分）
因此，函数f（x）在x=a3处取得极小值f(a3)，且f(a3)=-427a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得a3＞1，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），
只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R），
即cos2x-cosx≤k2-k对一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k2-k，当k∈[-1，0]，
g（k）min=0，
∴cos2x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即2kπ-π2≤x≤2kπ+π2，k∈Z…（12分）