设a,b,c,为正数且a+b+c=1,求证(a+1/a)平方+(b+1/b)平方+(c+1/c)平方大于等于100/3

选修4-5,不等式选讲... 选修4-5,不等式选讲 展开
ddhan001
高粉答主

2011-05-22 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
知道大有可为答主
回答量:1.9万
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用柯西不等式
(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=(1+1/a+1/b+1/c)^2
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
1/a+1/b+1/c>=9
(1+1/a+1/b+1/c)^2>=(1+9)^2=100
(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=100/3
原式成立
追问
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
为什莫 看不懂
追答
a+b+c=1
1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)+3
≥2+2+2+3=9
1/a+1/b+1/c≥9.
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
仍远航0I9
2011-05-22 · TA获得超过1087个赞
知道小有建树答主
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由柯西不等式3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2]=(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=[1+(bc+ca+ab)/(abc)]^2
而(bc+ca+ab)/(abc)>=3(bccaab)^(1/3)/(abc)=3/(abc)^(1/3)>=3/[(a+b+c)/3]=9
故(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2>=(1+9)^2/3=100/3
当且仅当a=b=c时,等号成立 a+b+c=1
1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)+3
≥2+2+2+3=9
1/a+1/b+1/c≥9.
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
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Master213
2011-05-22 · 超过21用户采纳过TA的回答
知道答主
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由柯西不等式3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2]=(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=[1+(bc+ca+ab)/(abc)]^2
而(bc+ca+ab)/(abc)>=3(bccaab)^(1/3)/(abc)=3/(abc)^(1/3)>=3/[(a+b+c)/3]=9
故(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+/1/c)^2>=(1+9)^2/3=100/3
当且仅当a=b=c时,等号成立
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