Question

已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0

（1）若点A（-2,0），B（2,0）点P在圆C上移动，求PA^2+PB^2的取值范围
（2）若点M（-4,0），N（0,3），当P在圆C上移动时，求三角形PMN的面积的最小值和最大值
（3）若实数x，y满足圆C的方程，求（y+1)除以（x-1）的取值范围
（4）若动点P（x,y)在圆C上，不等式3x+4y+m大于等于1恒成立，求m的取值

Answer 1

解：
（1）设点P坐标为（x，y)，则PA^2=(x+2)^2+y^2；PB^2=(x-2)^2+y^2
PA^2+PB^2=(x+2)^2+y^2+(x-2)^2+y^2
=2x^2+2y^2+8
令T=PA^2+PB^2=2x^2+2y^2+8
则x^2+y^2=(T-8)/2
这是个圆，圆心为坐标原点，它与圆C的相切时为最大与最小位置，此时它的半径的平方=(T-8)/2
在此题中，因圆C的圆心为（1，1），所以圆x^2+y^2=(N-8)/2与圆C的两个切点在直线y=x上
x=y=1±√2/2
2*（1±√2/2）^2=(T-8)/2
T最大=14+4√2
T最小=14-4√2
（2）三角形PMN的面积=底*高/2
底=MN=5
高=点P到线段MN的距离
MN所经过的直线为y=3x/4+3
然后你自己直接用点到直线的距离求出圆心（1，1）到MN的距离H来，那么
H最大=H+1
H最小=H-1
最后求出面积来
（3）令(y-1)/(x-1)=k
y-1=k(x-1)
y=kx-k+1是条直线
它与圆C相切时的斜率就是k的最大最小值
（4）3x+4y+m≥1
4y≥1-m-3x
y≥(1-m-3x)/4
这是一系列斜率为-3/4的直线，极限位置在与圆C相切的位置
所以m的取值范围就是斜率为-3/4的直线与圆C相切时的值

我教给你方法，你自己下点辛苦做吧

Answer 2

(1). 设P(x,y)
则PA²+PB²=(x+2)²+y²+(x-2)²+y²=2(x²+y²)+8
在圆C上，易得(1-√2)²≤x²+y²≤(1+√2)²
故14-2√2≤PA²+PB²≤14+2√2

(2). MN斜率为3/4，则P点距MN最远时，位于斜率为-4/3的直径右下端；最近是位于该直径左上端。直径方程为y-1=(-4/3)(x-1)。与MN交点坐标为(-8/25,69/25)
即对应P点坐标分别为(1+3/5,1-4/5) 即(1.6, 0.2)
和(1-3/5,1+4/5) 即 (0.4, 1.8)
则 P到MN最小距离为1.2 最大距离为3.2
MN=5
故三角形PMN面积取值范围为[3,8]

(3)这个比值是P点与（-1，1）的连线的斜率
斜率最大点倾角为arcsin(1/2)=30度
对应斜率取值范围为-√3/3<k<√3/3，即为该比值的取值范围

(4)不等式对应的直线族斜率为-3/4
与圆相交或相切的直线中，m极值出现在相切的情况。
切点：(1.8, 1.6)和(0.2, 0.4)
对应的m值分别为-11和-1.2
即-11<m<-1.2

Answer 3

把y=kx代入x^2+y^2-2x-2y+1=0
得(1+k^2)x^2-(2+2k)x+1=0
根据b^2-4ac>0 跟的判别式，得k>0
设Q(x1,kx1) p(x2,kx2) M(0.b) MP⊥MQ
根据k1×k2=((kx1-b)/x1)×((kx2-b)/x2)=-1
所以化简成b的二次方程，在用求跟公式得b=((k^2+1)(x1×x2))/(k(x1+x2))>0
最后可得(k^2+1)>0
最后算出k>1或k<-1(不符）
所以k>1, 再根据直线与圆在第一象限有交点
可得 倾斜角的取值范围 是45到90度

Answer 4

简单吗等于5698