Question

若函数f x 在 a b 内具有二阶导数,且fx1=fx2=fx3,其中a

Answer 1

f(x1)=f(x2)=f(x3)
那么由罗尔定理就可以知道,
在x1和x2之间存在c,使得f '(c)=0
同理,
x2和x3之间存在d,使得f '(d)=0
那么再由一次罗尔定理,
f '(c)=f '(d)=0
所以c和d之间存在&,使得f"(&)=0
于是证明得到
在(x1,x2)内至少有一点存在是f"(&)=0

Answer 2

f(x1)=f(x2)=f(x3)，存在极值m1∈(x1,x2)、m2∈(x2,x3)。 由费马引理可知，∃ξ1∈(x1,x2），使得f'ξ1)=0; ∃ξ2∈(x2,x3）,使得f'(ξ2)=0。 再又罗尔中值定理，可知∃ξ3∈(ξ1,ξ2），使得f''(ξ3)=0,即在(x1,x2)内至少有一点存在是f"(ξ3)=0