Question

高数的曲面积分问题？

图中划线的r=acosθ的几何意义是什么，是原点到下方投影圆上的距离吗

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Answer 1

第1题，是第二类曲面积分，曲面是抛物面，在各个坐标面上投影，分别是

两个类似的抛物线与水平线围成的平面、一个圆，

分别计算这些投影面上的平面积分，最终相加即可。

当然，还有第二种方法，就是利用高斯公式：

将原来的曲面积分，补充一个圆形平面（圆心在(0,2,0)，半径为1）积分，得到闭曲面积分，从而可以化成三重积分，

正好得到抛物体体积。

也即最终等于抛物体体积减去一个圆形平面（与xoz平面平行，即抛物体的底面，此时满足dy=0, y=2）的积分（也即∫∫(-6)dxdz = 6圆面积 =6π），

第2题

曲线L，是一个以原点（也是半径为a的球体球心）为圆心的圆形平面的边界，可以应用Stokes公式，将闭曲线积分，转换成曲面积分

P=y-4

Q=z+3

R=x+1

求各个偏导之后，正好得到曲面面积，即圆面积πa^2

Answer 2

它不一定有特别几何意义的，它只是说了rou随theta的变化的函数关系而已

追问

这个r是原点到下方投影圆上的距离吗

追答

肯定不是，球/极坐标中rou代表的事曲面上的点到“原点”的距离

追问

没听懂。。

追答

积分变量rou表示到“原点”的距离，它的上限acostheta就是说最大距离是acostheta