Question

如图在四边形ABCD中,△ADE≌△CBF，点E、F分别为AB、CD的中点，AG∥DB交CB的延长线于G

求证1四边形ABCD是平行四边形
2若四边形BFDE是菱形，则四边形AGBD是矩形
3在2中应增加什么条件，才能判别矩形AGBD是正方形

Answer 1

1）  ∵ △ADE≌△CBF

        ∴ AD=BC   DE=BF  AE=CF   ∠B=∠D

        又  E、F分别为AB、CD的中点   

        ∴DF=CF   AE=EB

        ∴DF=EB

        ∴△EBD≌△FBD  （SSS）

        ∴ ∠1=∠2

        ∴ ∠B+∠2=∠D+∠1（内错角相等）

        ∴ AD//BC   又AD=BC

        ∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）

2） 已知 四边形BFDE是菱形

    则DF=FB=BE= ED，即 BF=DF=1/2CD

       ∴△BCD为RT三角形（一边的中线=这边的一半，）

    ∴ ∠B+∠2=90

       ∴四边形AGBD是矩形

3）如果在2）中将菱形BFDE的对角线DB设定DB=AD

      则四边形AGBD是正方形。

Answer 2

∵△ADE≌△CBF
∴AE=CF=EB=DF=CF=DC/2=AB/2,BF=DE
∴△BDE≌△DBF
∴∠FDB=∠EBD
∴DF ∥EB
∴CD∥AB, 又CD=AB
∴ABCD是平行四边形

第二问
BFDE是菱形，则AE=CF=EB=DF=CF=DC/2=AB/2=BF=DE
∴E是△ADB的圆心
（∴等腰△ADE和等腰△EDB中∠BAD=∠EDA,∠BDE=∠ABD
∴∠ADB=∠BAD+∠ABD=∠EDA+∠BDE=180°/2=90°）
∴∠ADB是直角，△ADB是RT△

又∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，即AD∥BG
又∵AG∥DB
∴四边形AGBD是矩形

第三问
应增加AD=BD或者∠C=45°或者∠DAB=45°条件，就能判别矩形AGBD是正方形

Answer 3

⑴∵△ADE△CBF
∴AD=BC
AE=FC
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴AE=1/2 AB
FC=1/2CD
即AB=CD
又AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
⑵连接EF
∵菱形BFDE
∴EF⊥BD
∵平行四边形ABCD
AD∥BC E、F分别为AB、CD中点
∴AD∥EF
又EF⊥BD
∴AD⊥BD
又 AG//BD
AD//CG
∴平行四边形AGBD为菱形
（3）∠DAB=45°