Question

求一道高中数学题！紧急！快快快快快快快快快快快快快快快快快快！

已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx，g(x)=(a+1)x,其中a属于R，且a≠-1,
(1)若两个函数在区间〔1，2〕上都是单调函数且单调性相同，求a取值范围
(2)设H(x)=f(x)-g(x),若α，β(α＜β且β属于(1，e])是函数H(x)的两个极致点，证明：对任意x1,x2属于[α，β]，都有|H(x1)-H(x2)|＜1成立(参考值e＝2.71828)

Answer 1

解:（1）首先分别求导有：
f'(x)=x+a/x g'(x)=a+1
当a>-1时，g(x)在R上单调增，则f(x)在(1,2)上单调增
所以当x属于(1,2)时，x+a/x>=0 得到a>=-4
所以a>-1
当a<-1时，g(x)在R上单调减，则f(x)在(1,2)上单调减
所以当x属于(1,2)时，x+a/x<=0 得到a<=-4
所以a<=-4
综上所述：a<=-4或a>-1
（2） H(x)=f(x)-g(x) 有：H'(x)=f'(x)-g'(x)=x+a/x - a-1
由题可以知道：x+a/x - a-1=0的解为α和β
有：x^2-(a+1)x+a=0 （x不等于0） 又：α＜β且β属于(1，e]
于是：α=1；β=a
由于α和β是H(x)的两个极致点，所以在[α，β]上α和β将是H(x)的最大值点和最小值点
所以对任意x1,x2属于[α,β]，都有|H(x1)-H(x2)|＜=|H(α)-H(β)|
|H(x1)-H(x2)|＜=|H(α)-H(β)|
=|H(1)-H(a)| a属于(1，e])
=|a-1/2-a^2/2-alna+a^2+a|
=|a^2/2+2a-alna-1/2|
对p(a)=a^2/2+2a-alna-1/2求导：
p'(a)=a+2-lna-1=a-lna+1 a属于(1，e])
分别去p(a)的一个极值点外加1和e两个端点，|p(a)|必定在里面去最大值
然后求出的最大值肯定<1 命题即得证
后面的在键盘上敲出来，有点麻烦 你自己去纸上写下 就OK了

Answer 2

(1)1<x<2, 1<x^2<4, -4<-x^2<-1.
f'(x)=x+a/x, g'(x)=(a+1).
若a>-1, 则g'(x)>0,
而 a > -1 > -x^2, a+x^2>0, f'(x)=x+a/x = (x^2+a)/x >0.满足要求.
若a<-1,则g'(x)<0,
只有当a<=-4时,才有 a<=-4<-x^2, a+x^2 <0, f'(x)=(x^2+a)/x < 0.
a的取值范围是a<=-4或a>-1.

(2)H(x)=f(x)-g(x)=x^2/2 + aln(x) - (a+1)x, x>0
H'(x)=x + a/x - (a+1) = [x^2 -(a+1)x + a]/x =(x-a)(x-1)/x
两个极值点分别为a和1．
1<β<=e.
故, e>=β=a>1=α.
H(a)=a^2/2 + aln(a) - (a+1)a = aln(a) - a - a^2/2,
H(1)=1/2 - (a+1) = -a - 1/2.
|H(x1)-H(x2)|<=|H(a)-H(1)|=|aln(a) - a^2/2 + 1/2| ,
记h(a)=aln(a) - a^2/2 + 1/2, 1<a<=e.
h'(a)=ln(a)+1 - a
h''(a)=1/a - 1 < 0.
h'(a)单调递减．h'(a)<=h'(1)=0,
h(a)单调递减．h(1)=0>=h(a)>=h(e)=e-e^2/2 + 1/2
|H(x1)-H(x2)|<=|aln(a)-a^2/2 + 1/2| = |h(a)| = - h(a) <= -h(e) = e^2/2 - e - 1/2 = 0.4762 < 1

Answer 3

第1问，f'(x)=x+a/x; g'(x)=a+1。又因为a≥0时，f(x) 才会是单调（即导数恒大于0或小于0，你自己可以分析一下），且是递增的。故a+1≥0，则a≥-1.所以a≥0的（当然，为使条理清晰，你也可以分类考虑）
第2问：H’(x)=x+a/x-（a+1）=0，H(x)定义域为﹛x| x大于0 ﹜，则两边同乘x，即
x*2-（a+1）x+a =0.解得x=1或a。分析：α＜β，且β属于(1，e]，则α≤1，故α=1，β=a。
且H(x)在（1，a）上是递减的，则|H(x1)-H(x2)|自然是两端值最大，即x₁与x₂相差最多时，
|H(x1)-H(x2)|取max，即α=1，β=e。再带入|H(x1)-H(x2)|中算，即得|H(x1)-H(x2)|max=|e²/2-e-1/2|
＜1。
故max＜1，则所有值皆＜1

Answer 4

（1）.solve：
f'(x)=x+a/x
①a<0,f(x)在(1,2)上单调增加。则a+1>0,a>-1. 所以-1<a<0
②a=0,显然满足。{0}
③a>0,由对勾函数性质可知f(x)的单调增区间为(-无穷,-根号a),(根号a,+无穷)
则a^0.5<=1,即a<=1 满足a+1>0.所以 0<a<=1
单调减区间为（-根号a,0),(0,根号a)
则a^0.5>=2,即a>=4,不满足a+1<0
综和①②③，取并集，的a属于(-1,1]
(2)不会

Answer 5

1、f'(x)=x+a/x
g'(x)=a+1
a>-1时,x+a/x>=0即可
若a>0，x+a/x>=2√x*a/x=2√a,显然成立
若-1<a<0,x+a/x单调递增，而f'(1)=1+a>=0，所以也满足
a<-1时，x+a/x<=0即可
x+a/x单调递增,需f'(2)=2+a/2<=0，a<=-4

2、应该可以先求出极值点大小，然后带入求H(α)-H(β)的值<1就行了，我没时间做了，你算算看行不行