Question

a,b,c属于正实数 且 a+b+c=1 求证 （1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)>=4; 1/a^2+1/b^2+1/c^2>=27

Answer 1

证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数，
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c

故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8

Answer 2

题目有点问题：是(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8吧？？？？？
1.
∵a，b，c为正实数，且a+b+c=1，
∴1/a - 1=(a+b+c)/a - 1=(b+c)/a≥(2√bc)/a＞0；
1/b - 1=(a+b+c)/b - 1=(c+a)/b≥(2√ca)/b＞0；
1/c - 1=(a+b+c)/c - 1=(a+b)/c≥(2√ab)/c＞0，
三式相乘，得
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1)≥[(2√bc)/a] [(2√ca)/b] [(2√ab)/c]=8，(当且仅当a=b=1/3时取等号).

2.
由均值不等式，得
1/a²+27a+27a≥3·三次根号(27a·27a·1/a²)
即1/a² + 54a≥27
同理可知
1/b² + 54b≥27
1/c² + 54c≥27
三式相加得
1/a² + 1/b² + 1/c² + 54(a+b+c)≥81
1/a² + 1/b² + 1/c² + 54×1≥81
1/a² + 1/b² + 1/c²≥27, (当且仅当a=b=c=1/3取等号)

Answer 3

(1)1/a-1=(1-a)/a=(b+c)/a>=2倍根号bc/a
同理1/b-1=(a+c)/b>=2倍根号ac/b
1/c-1=(a+b)/c.>=2倍根号ab/c
三式相乘得(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
(2)由3元均值不等式1/a^2+27a+27a>=3倍3次根号下(1/a^2*27a*27a)=27,即1/a^2>27-54a
同理1/b^2>=27-54b
1/c^2>=27-54c
三式相加得1/a^2+1/b^2+1/c^2>=81-54( a+b+c)=27
(1)(2)等号成立当且仅当a=b=c=1/3证毕

Answer 4

第一个方程式合并整理后和第二个对比你能发现。