Question

行列式的计算技巧

Answer 1

1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。2、利用行列式的性质计算。3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
例1计算三阶行列式

解 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式 下三角形行列式 对角行列式

二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若 则 .

性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即

注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.

性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.

性质3 用数乘行列式的某一行(列), 等于用数乘此行列式, 即

第行(列)乘以,记为(或).

推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,

.

则 .

性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.

注: 以数乘第行加到第行上,记作; 以数乘第列加到第列上，记作.

2、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

Answer 2

Answer 3

Answer 4