Question

如图，∠a=90°，bd是△abc的角平分线，de是bc的垂直平分线、de是bc的垂直平分线。求∠abc和∠cde的度数

如图，∠a=90°，bd是△abc的角平分线，de是bc的垂直平分线、de是bc的垂直平分线。求∠abc和∠cde的度数

Answer 1

∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD（垂直平分线性质）
∴∠DBC=∠DCB（等边对等角）
又BD平分∠ABC
∴∠C：∠ABC=1：2
又∠A=90°
∴∠C+∠ABC=90°
∴∠C=30°，∠ABC=60°
∴∠BDC=120°（三角形内角和180°）
又DE垂直且平分BC
∴DE也是∠BDC角平分线（等腰三角形的高，中线，角平分线合一）
∴∠CDE=1/2∠BDC=60°（角平分线定义）
一楼太复杂，楼主给分吧

Answer 2

连接AE。
∵DE垂直平分BC
∴BE＝CE，∠DEB＝∠DEC＝90°
∵DE＝DE
∴Rt△DEB≌（全等于）Rt△DEC
∴∠BDE＝∠CDE
又∵∠A＝90°
∴AB＝BE＝CE
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD＝∠DBE
∵∠A＝∠DEB＝90°
∴Rt△ABD≌（全等于）Rt△EBD
∴∠ADB＝∠EDB
∴∠ADB＝∠EDB＝∠CDE
又∵A,D,C在同一直线上
∴∠CDE＝∠ADB＝∠EDB＝60°
∴∠C＝30°
∴∠ABC＝60°

只要连接AE，再证两个全等就可以了。

Answer 3

因为BD平分角ABC,所以角ABD等于角CBD,又因为DE垂直平分BC,所以BD等于DC,所以角CBD等于角BCD,所以角ABD等于角CBD等于角BCD.又因为角A等于90度,所以角ABC等于60度,角BCD等于30度,所以角CDE等于60度.