Question

已知数列{an}中的各项均为正数,前n项和Sn满足4Sn=(an+1)平方，求{an}的同项公式

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Answer 1

解：依题意得，4Sn=(an+1)平方.即4Sn=(an+1)^2，所以4Sn+1=(a（n+1）+1)^2
所以4Sn+1-4Sn =(a（n+1）+1)^2－(an+1)^2
=(a（n+1）+an+1+1)(a（n+1）+1-an-1)
=(an+a（n+1）+2)(（an+1）-an)
=a（n+1）^2-a（n+1）*an+an*a（n+1）-an^2+2a（n+1）-2an
=a（n+1）^2+2a（n+1）-2an-an^2
又因为，Sn+1-Sn=an+1,所以4Sn+1-4Sn＝4a（n+1）
所以，4Sn+1-4Sn＝4a（n+1）=a（n+1）^2+2a（n+1）-2an-an^2
a（n+1）^2-an^2=2a（n+1）+2an
(an+1+an)(an+1-an)=2(a（n+1）+an)
因为数列{an}中的各项均为正数，所以，an+1,an都为正数，
所以，(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an)
an+1-an=2,
又因为，S1=a1,所以4S1=(a（1）+1)^2
4a1=a（1）^2+1+2a（1）
a（1）^2+1-2a（1）=0
(a（1）-1)^2=0
得a（1）=1,因为an+1-an=2，所以易得an是以2为公差的等差数列，因为a1=1，所以，
an＝1+（n-1)*2=2n-1
其中关键的一步是要对Sn进行转换，变成an,让式子都变成an的形式！！通常这种题目都是这么做的！！！！
不懂的，可以交流，乐意帮忙！！！

Answer 2

4a(1)=[a(1)+1]^2
a(1)=1
4a(n+1)=[a(n+1)+1]^2 - [a(n)+1]^2
[a(n)+1]^2 = [a(n+1)-1]^2
若a(n+1)>1
a(n+1)=a(n)+2
a(n)=1+2(n-1)=2n-1
若a(n+1)<1
a(n+1)=-a(n)与a(n)>0,a(n+1)>0矛盾.
因此,a(n)=2n-1

Answer 3

an=1/3+(n-1)*2