Question

已知当,时,求函数的单调区间;若函数有两个极值点和,,求证:;已知,,求证:.

已知 当,时,求函数的单调区间; 若函数有两个极值点和,,求证:; 已知,,求证:.

Answer 1

求出函数的定义域,并求出导数,分别令它大于,小于,求出单调区间;
首先求出函数的导数,根据函数有两个极值点和,且,得到不等式组:,,,化简不等式即可;
化简求出定义域,并求出导数,得到函数的单调性,去掉绝对值,要证原不等式成立,只要证,构造函数,只要证得是增函数,求出导数,运用基本不等式证明不小于,从而得证.
解:的定义域为,
,
由得或,
当或时,,当时,
是函数的减区间,和是的增区间;
函数有两个极值点,,
在有两个不同的解,,
,
,是在内的两个不同解,
设,则该函数有两个零点,,
,
即,
,即得,
,
得证;
证明:的定义域为,
,
函数在上递增,
,,
要证上式,只要证,
设,由题意得只要证是增函数,
,,
在上是增函数,
,,
,
.
本题主要考查导数的综合运用,求单调区间,求极值,考查二次方程实根的分布,构造函数求导,运用单调性,及基本不等式的运用,考查分析法证明不等式的方法,是一道综合题.