Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． (1)若m为常数，求

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A、B两点的中垂线为X=(x_A+x_B)/2=((m-2)+(m+2))/2=m，也就是抛物线的对称轴-b/2a=m，设顶点C坐标为(m，n)，那么可令抛物线的方程为y=a(x-m)^2+n，把AB点的坐标代入，得：4a+n=0……(1)式，又因AC垂直BC，由勾股定理得AC^2+BC^2=AB^2，化简有n^2-4=0……（2)式。联立（1)、（2)式，解得n=-2，a=1/2(n=2，a=-1/2不符题意，舍去）。于是抛物线的解析式是y=1/2(x-m)^2-2
（2）向右移动-m个单位，向上平移2个单位。
（3）由抛物线的解析式，令X=0得Y=m^2/2-2，于是D点坐标为(0，m^2/2-2)，D点在y轴正半轴上，有m^2/2-2>0，得m<-2，或m>2。
已知B(m+2, 0), C(m, -2),
分三种情况讨论，1！BC=BD, 2! CB=CD, 3!DC=DB, 经分析(画示意图）1！、2！两种情况不存在，只需讨论3! 即
（m-0)^2+(-2-(m^2/2-2))=(m+2-0)^2+(0-(m^2-2))^2， 化简
m^2-2m+4=0 解之得 m=2
与上面m>2矛盾，因此不存在m ……

Answer 2

解：
(1)
设抛物线的解析式为：y=a[x-(m-2)][(x-(m+2)]=a(x-m)^2-4a
∴C的坐标为(m,-4a)
∵AC⊥BC
∴△ACB是等腰直角三角形
又∵|AB|=|m+2-(m-2)|=|4|=4
所以C点的纵坐标为|-4a|=(1/2)|AB|=2
∴a=1/2(开口向上，舍去负值)
∴y=(1/2)(x-m)^2-2

(2)
∵m为小于零的常数
∴抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y=(1/2)(x-m)^2-2顶点在坐标原点

(3)
令x=0,y=(1/2)m^2-2
∴D点坐标为(0, (1/2)m^2-2)
设存在实数m，使△BOD为等腰三角形
∵△BOD为直角三角形
∴OD=OB
∴(1/2)m^2-2＝|m+2|
①当m+2>0，即m>-2时，解得m=4或m=-2(舍)
②当m+2<0时，即m<-2时，解得m=0(舍)或m=－2(舍)
③当m+2=0，即m=-2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)
∴当m=4，△BOD为等腰三角形

Answer 3

分析：（1）由题点是未知的，因为抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0），可以把抛物线设为两点式，根据AC⊥BC的关系解出C点坐标从而得到抛物线解析式；
（2）用图象平移，∵m为小于零的常数∴只需将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位就可以了；
（3）假设存在求出△BOD三个顶点坐标，则有两边相等，从而解出m．
解答：解：
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）2-4a．（2分）
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4，
∴C（m，-2）代入得a=12．
∴解析式为：y=12（x-m）2-2．（5分）
（亦可求C点，设顶点式）

（2）∵m为小于零的常数，
∴只需将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y=12（x-m）2-2顶点在坐标原点．（7分）

（3）由（1）得D（0，12m2-2），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，
∴只能OD=OB．（9分）
∴12m2-2=|m+2|，当m+2＞0时，解得m=4或m=-2（舍）．
当m+2＜0时，解得m=0或m=-2（舍）；
∵m=0时，D点坐标为（0，-2），在y轴的负半轴，所以m=0舍去；
m=2，D点坐标为（0，0），也不合题意舍去；
当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形．（12分）
点评：此题考查抛物性质，巧妙设抛物线解析式，还考了三角形垂直性质和抛物线的平移，最后探究存在性问题．

Answer 4

（1）A、B两点的中垂线为X=(x_A+x_B)/2=((m-2)+(m+2))/2=m，也就是抛物线的对称轴-b/2a=m，设顶点C坐标为(m，n)，那么可令抛物线的方程为y=a(x-m)^2+n，把AB点的坐标代入，得：4a+n=0……(1)式，又因AC垂直BC，由勾股定理得AC^2+BC^2=AB^2，化简有n^2-4=0……（2)式。联立（1)、（2)式，解得n=-2，a=1/2(n=2，a=-1/2不符题意，舍去）。于是抛物线的解析式是y=1/2(x-m)^2-2
（2）向右移动-m个单位，向上平移2个单位。
（3）由抛物线的解析式，令X=0得Y=m^2/2-2，于是D点坐标为(0，m^2/2-2)，D点在y轴正半轴上，有m^2/2-2>0，得m<-2，或m>2。
已知B(m+2, 0), C(m, -2),
分三种情况讨论，1！BC=BD, 2! CB=CD, 3!DC=DB, 经分析(画示意图）1！、2！两种情况不存在，只需讨论3! 即
（m-0)^2+(-2-(m^2/2-2))=(m+2-0)^2+(0-(m^2-2))^2， 化简
m^2-2m+4=0 解之得 m=2
与上面m>2矛盾，因此不存在m 。