Question

求动点轨迹方程的主要方法是什么?

Answer 1

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Answer 2

动点轨迹方程的求法</b>
一、直接法
按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时.
例1(1994年全国)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C:，动点M到圆C的切线长与的比等于常数(如图)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
解:设M(x，y)，直线MN切圆C于N，
则有
，
即
，
.
整理得，这就是动点M的轨迹方程.
若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线;
若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆.
二、代入法
若动点M(x，y)依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况.
例2
(1986年全国)已知抛物线，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线.
解:设，由题设，P分线段AB的比，
∴
解得.
又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，
∴
整理得点P的轨迹方程为
其轨迹为抛物线.
三、定义法
若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现.
例3
(1986年广东)若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
解:如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心(-2，0)的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以(-2，0)为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是(1，0)，开口向左，所以方程是.选(B).
例4
(1993年全国)一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为
(A)抛物线如搏
(B)圆
(C)双曲线的一支
(D)椭圆
解:如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有
动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左指橡辩支，选(C).
四、参数法
若动点P(x，y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程.
例5
(1994年上海)设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0，1)，长轴和短轴的长度之比为t.(A)求椭圆的方程;
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
解:(1)设所求椭圆方程为
由题意得解得
所以椭圆方程为
.
(2)设点解方程组唯缺
得
由和得
其中t＞1.
消去t，得点P轨迹方程为
和.
其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分.五、交轨法
一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程.
例6
(1985年全国)已知两点以及一条直线:y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程.
解:PA和QB的交点M(x，y)随A、B的移动而变化，故可设，则
PA:
QB:
消去t，得
当t=-2，或t=-1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是
以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围.