三重积分∫∫∫zdv,积分区域由x^2 y^2 z^2≥z和x^2 y^2 z^2<2z围成

如题用球面积分我做出来的是∫(0-2π)dθ∫(0-2/π)dφ∫(cosφ-2cosφ)(ρ^3sinφcosφ)dρ请问哪里错了...为什么和直角坐标求出来的结果不一... 如题用球面积分我做出来的是∫(0-2π)dθ∫(0-2/π)dφ∫(cosφ-2cosφ)(ρ^3sinφcosφ)dρ请问哪里错了...为什么和直角坐标求出来的结果不一样...顺便求柱面坐标的方法 展开
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茹翊神谕者

2021-10-28 · 奇文共欣赏,疑义相与析。
茹翊神谕者
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简单计算一下即可,答案如图所示

李本雪若英
2019-02-25 · TA获得超过1217个赞
知道小有建树答主
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截面法:用竖坐标为z的平面截立体,得截面为dz:x²+y²≤2z-z²
∫∫∫z²dv
=∫[0→2]
(∫∫z²dxdy
)dz
里面的二重积分积分区域为dz:x²+y²≤2z-z²
=∫[0→2]
z²dz
∫∫1dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,dz面积为:π(2z-z²)
=π∫[0→2]
z²(2z-z²)dz
=π∫[0→2]
(2z³-z⁴)dz
=π[(1/2)z⁴-(1/5)z⁵]
|[0→2]
=8π/5
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虢尚经诗柳
2020-03-10 · TA获得超过1074个赞
知道小有建树答主
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球坐标
的式子没错啊,可能是
直角坐标
的式子列错了呢??
球坐标:
小球体:r²
=
rcosφ
==>
r
=
cosφ
大球体:r²
=
2rcosφ
==>
r
=
2cosφ
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(0→2π)

∫(0→π/2)
sinφ

∫(0→2cosφ)
rcosφ
*

dr
-
∫(0→2π)

∫(0→π/2)
sinφ

∫(0→cosφ)
rcosφ
*

dr
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4
柱坐标:
{

+

=
z
{

+

=
2z
{

+
(z
-
1/2)²
=
1/4
{

+
(z
-
1)²
=
1
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(0→2π)

∫(0→1)
r
dr
∫(1
-
√(1
-
r²)→1
+
√(1
-
r²))
z
dz
-
∫(0→2π)

∫(0→1/2)
r
dr
∫((1/2)(1
-
√(1
-
4r
²))→(1/2)(1
+
√(1
+
4r²)))
z
dz
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4
直角坐标:
{

+

+

=
z
==>

+

+
(z
-
1/2)²
=
(1/2)²
{

+

+

=
2z
==>

+

+
(z
-
1)²
=
1
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(-
1→1)
dx
∫(-
√(1
-
x²)→√(1
-
x²)
dy
∫(1
-
√(1
-

-
y²)→1
+
√(1
-

-
y²))
z
dz
-
∫(-
1/2→1/2)
dx
∫(-
√(1/4
-
x²)→√(1/4
-
x²))
dy
∫(1/2
-
√(1/4
-

-
y²)→1/2
+
√(1/4
-

-
y²))
z
dz
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4
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