Question

已知实数a、b、c满足a+b+c=2，abc=4，求a、b、c中的最大者的最小值。请用均值代换来做，回答好加分。

Answer 1

解：【1】不妨设a,b,c中的最大者是c,即a≤c且b≤c.结合c≤c，三式相加可得2=a+b+c≤3c.∴c≥2/3.即最大者c是正数。【2】由题设可得：a+b=2-c,且ab=4/c.∴由伟达定理可知，a和b是关于x的方程：x²-(2-c)x+(4/c)=0的两个根。∴判别式⊿=(2-c)²-(16/c)≥0.即有c²-4c+4-(16/c)≥0.∵c≥2/3，∴判别式不等式两边乘以c,可得：c³-4c²+4c-16≥0.===>c²(c-4)+4(c-4)=(c²+4)(c-4)≥0.===>c-4≥0.===>c≥4.∴c的最小值为4.

Answer 2

均值不等式一般只涉及两个变量，对于三个变量，首先要消去一个变量，由a+b+c＝2得c＝2-a-b，代入abc＝4并整理得ba^2-b(2-b)a+4＝0，△＝b^2(2-b)^2-16b≥0，即b*(b^2+4)(b-4)≥0，显然b＝0方程无解，所以b的范围是(-∞，0)∪[4，+∞），因为a、b、c是对称的，即将其中任意两个互换，不改变值的大小，所以a、b、c中的最大者的最小值为4。

Answer 3

均值不等式一般只涉及两个变量，对于三个变量，首先要消去一个变量，由a+b+c＝2得c＝2-a-b，代入abc＝4并整理得ba^2-b(2-b)a+4＝0，△＝b^2(2-b)^2-16b≥0，即b*(b^2+4)(b-4)≥0，显然b＝0方程无解，所以b的范围是(-∞，0)∪[4，+∞），因为a、b、c是对称的，即将其中任意两个互换，不改变值的大小，所以a、b、c中的最大者的最小值为4。

Answer 4

(1)设a最大,由题意必有a＞0，b+c=2-a,bc=4/a,
于是b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两实根
则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,
(a-4)(a^2+4)≥0
所以a≥4
又当a=4，b=c=-1
即a，b，c中最大者的最小值为4

（2）因为abc=4＞0，a+b+c=2＞0
所以a，b，c可能全为正，或一正二负
当a，b，c全为正时，由（1）知a，b，c中最大者的最小值为4，这与a+b+a=2矛盾
当a，b，c一正二负时，设a＞0，b＜0，c＜0
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2
由（1）知a≥4
所以2a-2≥6
所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6