Question

三角形ABC中,AB=AC,角A=120度,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证:DE=2分之1 BC

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Answer 1

证明：连结BE
因为　DE是AB的中垂线
　　　所以　EA=EB，角ADE＝90度
　　　因为　角BAC＝120度
　　　所以　角EAD＝60度，三角形ABE是等边三角形，AE=AB
作BC边上的高AH, 则　角AHB＝90度
　　　因为 AB=AC
　　　所以　BH=BC/2, 角BAH=角BAC/2=60度
　　　在三角形AED和三角形ABH中　因为　角ADE＝角AHB=90度，EA=EB,角EAD=角BAH＝60度　　　　　　　　　　　　　　　所以　三角形AED全等于三角形ABH
所以　DE=BH
因为　BH=BC/2
所以　DE=BC/2.

Answer 2

设AB的中垂线交CB于F
连接AF
∴BF=AF
∴∠C=∠B=∠BAF=(180-120)/2=30
∴∠FAC=120-30=90
在RT△ADE中
∠EAD=180-120=60
∴∠E=90-60=30
可设AD=a,则DE=√3a
在RT△ADF中
∵∠DAF=30
∴DF=√3/3a
∴BF=AF=2√3/3a
在RT△AFC中
则CF=2AF=4√3/3a
∴BC=BF+CF=2√3a
即DE=1/2BC

Answer 3

做BC边上的高AH，证明三角形AED与三角新BHD全等。

Answer 4

作AF⊥ BC于F，则BC=2BF=2(√3AF)=2√3(1/2AB)=2√3AD； DE=√3AD
∴DE=1/2BC