Question

若函数f(x)为偶函数,且f(2+x)=-f(x)则f(x)的图像关于(1,0)中心对称

若f(x)为奇函数，且f(x)关于直线X=1对称 为什么是对的？？？

Answer 1

y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，
则y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称，即f(x)是奇函数。
在f(x+6)+f(x)=2f(3)中，取x=-3，
则f(3)+f(-3)=f(3)-f(3)=0=2f(3)，即f(3)=0。
所以，f(x+6)=-f(x)，
即f(x+12)=-f(x+6)=f(x)，
所以，f(x)是周期为12的周期函数。
因为，2012=168×12-4
所以，f(2012)=f(-4)=-f(4)=-4

Answer 2

关于（1,0）
中心对称
，有f(x)=-f(2-x)
令x=x+2，带入原式，有f(x)=-f(x-2)
若为
偶函数
，有f(x-2)=f(2-x)
所以f(x)=-f(2-x)，关于（1,0）中心对称
关于直线X=1对称，有f(x)=-f(2-x)
令x=x+2，带入原式，有f(x)=-f(x-2)
若为
奇函数
，有-f(x-2)=f(2-x)
所以f(x)=f(2-x)，关于直线X=1对称