Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是

x、y轴上的两个动点 ，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动.设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）
(1)当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
（2）当t为何值时，PQ⊥OB？
（3）当t为何值时，PQ//AB？
（4）当t为何值时，三角形OPQ是等腰三角形？

Answer 1

依题意可得CP=t,OQ=8-2t (0≤t≤4)

解:
(1)1/2×S梯形OABC=1/2×1/2×3×(4+8)=9
平分时,S梯形CPOQ=9,则 9=1/2×3×(CP+OQ)
则有CP+OQ=8-t=6 解得t=2

(2)PQ⊥OB时,∠PEB=∠OEQ=90°
∵CB⊥OC,CB=4,OC=3
∴OB=5
又∵5=OB=BE+EO=cos∠PBE×PB+cos∠EOQ×OQ=4/5×(4-t)+4/5×(8-2t)=4/5×(12-3t)
即25/4=12-3t 3t=12-25/4=23/4 解得t=23/12
PS:此处若用高中向量方法做更简单.
附高中向量方法:
向量PQ=(8-3t,-3),向量OB=(4,3)
PQ⊥OB 则有 向量PQ · 向量OP=32-14t-9=0
解得t=23/12

(3)由平行四边形性质可得,PQ∥AB且AQ∥BP,则ABPQ为平行四边形
∴BP=AQ 推出 4-t=2t 解得t=4/3

(4)联结OP,设P(t,3),Q(8-2t,0)
△OPQ为等腰三角形时
①OP=PQ时
有 t²+9=9t²-48t+64+9
8t²-48t+64=0
t²-6t+8=0
(t-2)(t-4)=0 (t=4时舍去,因此时OPQ三点共线)
∴t=2
②OP=OQ时
有 t²+9=4t²-32t+64
3t²-32t+55=0
△=364
∴t=(32±2√91)/2=16±√91
9＜√91＜10,∴25＜t＜26或6＜t＜7
∵0≤t≤4
∴此时t不存在
③OQ=PQ时
有 4t²-32t+64=9t²-48t+64+9
5t²-16t+9=0
△=76
∴t=(16±2√19)/2=8±√19
∵4＜√19＜5 ∴3＜t＜4或12＜t＜13
∴t=8-√19
综上所述,当△OPQ是等腰三角形时,t=2或t=8-√19

Answer 2

(1) t=2S
(2)t=9/4S
(3)t=4S
（4）PQ=OQ t=1S
OP=PQ 0<t<=4
OP=OQ t=1S