Question

级数证明:若级数∑an收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³,推广到∑(an)^n是否都收敛.

显然∑an是条件收敛,我虽然想到了个证明方法,但总觉得有点缺陷,希望高人能帮我证明一下.先悬赏50, 万分感激啊.

Answer 1

这个命题成立是需要条件的：∑|an|收敛，而不是∑an收敛。
否则的话可以有像四楼的那个反例：an=（-1）^n（1/n）^（1/2）。
若前提是∑|an|收敛，则lim|an|=0，
那么lim|an^（n+1）|/|an^n|=lim|an|=0，以此类推，lim|an²|/|an|=0，
由于∑|an|收敛，由正项级数（划重点）审敛法可知，∑|an²|收敛，从而可以类推到∑|an^n|亦收敛，从而由绝对收敛的性质可知，∑an^n，∑an^（n-1），...，∑an²亦是收敛的。
之所以“∑an收敛”这个前提不够充分，那是因为在运算过程中可能会出现交错级数或者其他的任意级数的影响，那时候不能用正项级数的比较审敛法等等方式，而其中涉及的运算不确定性太多，所以这个前提不够充分，反例也很容易想出。

Answer 2

可能是你的表达有误，按你的叙述，结论不对。
举个例子，an=1/(n^2)，显然 ∑an 是收敛的。
然而，(an)^n ->1，所以 ∑(an)^n 是发散的。

追问

请问一下 (an)^n ->1 an既然是一个属于(0,1)间的数,那它的n次方也不会趋于1吧.

追答

不好意思，我看错题了，以下面的叙述为准。。。
设 an=((-1)^(n-1))/(ln n)，
则 ∑an 收敛 (莱布尼茨判别法)。
但是当m (m与n无关)是偶数时，只要与发散级数∑(1/n)做比较就能知道，级数 ∑(an)^m是发散的。

但是级数∑(an)^n却是收敛的。
原因如下：
∑an 收敛，故 an->0，从而存在小于1的正数c，使得当n大于某个正整数N时，|an|<c。
所以|an|^n< M×c^n，n=1，2，......，其中M是一个正常数。
然后由级数∑c^n的收敛性便可知∑(an)^n是收敛的。

追问

当m (m与n无关)是偶数时，只要与发散级数∑(1/n)做比较就能知道，级数 ∑(an)^m是发散的。
这句话你能讲解一下么,否则我都不知道该给谁分了,你证明一下,行的话就选你的答案.谢谢

追答

设 an=((-1)^(n-1))/(ln n)，当m (m与n无关)是偶数时，∑(an)^m=∑(1/(ln n))^m，而我们知道，当n充分大时，1/((ln n)^m)>1/n (与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)，而级数∑(1/n)是发散的，所以此时级数∑(an)^m也是发散的。。。

追问

与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)，
这证明不充分啊.
比如 x²比x³增长慢,但是x²)²却比x³增长快.
或许你直接表示的是(ln n)^m (m取任意偶数,的增长速度比n慢,但你能解释一下么.我对这种形式题没经验.抱歉,屡次麻烦你.

追答

对任何常数 a>0，b>0 (a，b可以不是整数)，都存在正整数N，使得当n>N时，有 (ln n)^a正无穷时，有 ((ln x)^a)/((ln x)^b)->0。
用洛必达法则很容易证明的。

Answer 3

我试试，希望能帮到你：
因为级数an无限项求和收敛
所以 lim [an-a(n-1)] = 0 n趋向无穷
所以 a(n)^3 - a(n-1)^3
= [a(n)-a(n-1)] [a(n)^2 + a(n)a(n-1) + a(n-1)^2]
lim [a(n)^3 - a(n-1)^3] =0 n趋向无穷
所以级数an^3无限项求和收敛

类似的
an^n-a(n-1)^n
=(an-a(n-1))*(an^(n-1) + an^(n-2)*a(n-1) + ........+ a(n-1)^(n-1))
所以∑(an)^n收敛
（大学毕业10年了啊。。。不知这样证行不行）

追问

您证明lim [a(n)^3 - a(n-1)^3] =0 n趋向无穷 结论没错,但是这只能说是证明了数列收敛的必要条件. 不能用必要条件来说明数列收敛的. 不过还是谢谢您了.

追答

是的我错了，把大学的书找出来看了看（还好没卖掉），真的忘光了，
我思考之后得出如下结论：
若级数∑an是条件收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³.......∑(an)^n不一定收敛，可以通过举反例来说明，楼下很多例子都不错。

若级数∑an是绝对收敛，则∑(an)²,∑(an)³.......∑(an)^n一定收敛
证明：若∑an是绝对收敛级数，根据级数收敛的柯西准则 ：∑an收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N，对一切自然数 p，有｜a(n+1)｜＋｜a(n+2)｜＋…＋｜a(n+p)｜＜ε
所以 ｜a(n+1)/ε｜＋｜a(n+2)/ε｜＋…＋｜a(n+p)/ε｜＜1
｜a(n+1)/ε｜^2＋｜a(n+2)/ε｜^2＋…＋｜a(n+p)/ε｜^2＜｜a(n+1)/ε｜＋｜a(n+2)/ε｜＋…＋｜a(n+p)/ε｜＜1
可以得到｜a(n+1)^2｜＋｜a(n+2)^2｜＋…＋｜a(n+p)^2｜＜ε^2
由ε的任意性，可以得到∑(an)²收敛

Answer 4

这个没希望的，有反例，比如
a_{3n+1} = a_{3n+2} = 1/[2ln(n+1)]
a_{3n+3} = -1/ln(n+1)
显然\sum a_n = 0但是\sum a_n^k对任何k \neq 1都发散

追问

不好意思,你写的我看不大懂,能写得简明点么,谢谢.

追答

1/(2ln2) + 1/(2ln2) - 1/ln2 + 1/(2ln3) + 1/(2ln3) - 1/ln3 + 1/(2ln4) + 1/(2ln4) - 1/ln4 + ... + 1/[2ln(n+1)] + 1/[2ln(n+1)] - 1/ln(n+1) + ...

Answer 5

错的。

a[n] = (-1)^n/√n，组成一个收敛的交错级数。但是∑a[n]^2是调和级数，从而发散