Question

一道高二数学导数问题

已知函数f（x）＝xe^x.
1.求f（x）的单调区间与极值；
2.是否存在实数a，使得对于任意的x1，x2∈（a，正无限），且x1小于x2，恒有（f（x2）－f（a））/x2－a大于（f（x1）－f（a））/x1－a成立？

Answer 1

1，求导 F'(X)=(X+1)*e^X
令F'(X)=0,X=-1 所以 （-无穷大到-1】为减 【-1，正无穷大）增
极小值F(-1)=-1/e
2，x1小于x2，恒有（f（x2）－f（a））/x2－a大于（f（x1）－f（a））/x1－a成立
所以（f（x）－f（a））/x－a为增函数
设g（x）=（f（x）－f（a））/x－a
导数g“（x）=e^X+ae^a/X^2大等于0，就是增函数
所以x^2e^x+ae^a大等于0
设HX=x^2e^x+ae^a
导数H'X=（x^2+2x)e^x，令=0
x=0或-2， 所以-无穷，-2】增，【-2，0】减，【0，正无穷）增
所以极小值也就是最小值H(-2)=4/e^2+ae^a大等于0，
是不是算错了。。a解不出 ，不对。。应该是a属于R

Answer 2

对函数F(X)求导，可得：f'(X)=e^x+xe^x。 令f（x）=0 可以得到 e^x+xe^x=e^x（1+x）=0
解得 x=-1 。因为e^x 恒大于0 则可知 函数在（负无穷，0）单调递减 ，在（0，正无穷）单调递增 ，且有极小值 f（-1）=0
（2）恒有（f（x2）－f（a））/x2－a大于（f（x1）－f（a））/x1－a 可知 f（x2）－f（a））/x2－a-（（f（x1）－f（a））/x1－a ）>0
变换得( x1f(x2)-x1f(a) )/(x1x2)-( x2f(x1)-x2f(a) )/(x1x2)>0 ,由此可得f(a)>x1x2(e^x1-e^x2)/(x2-x1) ，因为x1x2均大于0 且 x1小于x2 ， 则x1x2(e^x1-e^x2)/(x2-x1) 恒小于0 ，但由上一问可知f（x）>=0 可知f(a)>x1x2(e^x1-e^x2)/(x2-x1) 不成立 ，因此不存在 a 使得 （f（x2）－f（a））/x2－a大于（f（x1）－f（a））/x1－a成立。

Answer 3

（1）
f`(x)=(x+1)e^x 知道 当x<-1 导数小于0 x>-1 导数大于0
所以单调递减区间（负无穷，-1） 递增区间（-1，正无穷） 极值点是-1
（2）
存在 当x>=-2时 等式成立 因为二介导 在x>-2时大于零 x<-2时小于零。