Question

已知向量a=(sinθ,√3),b=(1,cosθ),-π/2<θ<π/2，求a+b的长度的最大值

Answer 1

a+b=（1+sinθ,√3+cosθ)，长度=√（（1+sinθ）²+（√3+cosθ）²)=√(5+2sinθ+2√3cosθ).
设t=5+2sinθ+2√3cosθ
则求a+b的长度的最大值就是求t的最大值，
t=5+4（1/2×sinθ+√3/2×cosθ）
=5+4（cos60度×sinθ+sin60度×cosθ）
=5+4×sin（θ+60度）
因为-π/2<θ<π/2，所以-π/6<θ+π/3<5π/6，
显然当θ+π/3=π/2时，sin(θ+π/3)=1,最大
所以当θ+π/3=π/2时，t最大=5+4×1=9 ，
(a+b）最大=√9=3

Answer 2

已知向量a=(sinθ,√3),b=(1,cosθ),-π/2<θ<π/2，求a+b的长度
方法1：
a+b的长度 = | a + b | = √(a + b)² = √(a² + 2 a•b + b²) = √(a² + 2 a•b + b²) ①
其中
a² ＝sin²θ + 3
b² ＝1 + cos²θ
2 a•b ＝ 2 (sinθ,√3) •(1,cosθ) = 2(sinθ + √3cosθ)
代入①： a+b的长度 =√[5 + 2sinθ + 2√3cosθ]
=√[5 + √(2² + 12)sin(θ + φ)] -----------见注释
=√[5 + 4 (sin(θ + π/3)]
最大值： 3
最小值： 1
注释： Asinθ + Bcosθ = √(A² + B²) sin(θ + φ) 其中 tanφ = B/A

方法2：
a+b的长度 = (sinθ + 1,√3 + cosθ)的长度 = √[(sinθ + 1)² + (√3 + cosθ)²]
= √[(sinθ + 1)² + (√3 + cosθ)²]

Answer 3

a+b=（sinω+1，cosω+√3）
｜a+b｜=根号[(sinω+1)^2+(cosω+√3)^2] （ ^2 表示平方的意思 ）
｜a+b｜的最大值 即为 ｜a+b｜平方的最大值， [(sinω+1)^2+(cosω+√3)^2]
= 5+2sinω+2√3cosω =5+4sin(ω+兀/3)
ω=兀/6 取最大值, ｜a+b｜的最大值 为3