Question

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．（1）若m=4，求函数y=f...

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）． （1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域； （2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=x2-2x-3(x≥4)-x2+6x-3(x＜4)
=(x-1)2-4(x≥4)-(x-3)2+6(x＜4)（ 6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域为[2，12]（ 10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=x2-(m-2)x-3(x≥m)-x2+(m+2)x-3(x＜m)
=(x-m-22)2-3-(m-22)2(x≥m)-(x-m+22)2-3+(m+22)2(x＜m)
因为f（x）在R上为增函数，所以m-22≤ mm+22≥ m-2≤m≤2． （15分）