Question

不等式组x≥0y≥0nx+y≤4n所表示的平面区域为Dn，若Dn内的整点（整点即...

不等式组x≥0y≥0nx+y≤4n所表示的平面区域为Dn，若Dn内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为an（n∈N*） （1）写出an+1与an的关系（只需给出结果，不需要过程）， （2）求数列{an}的通项公式； （3）设数列an的前n项和为Sn且Tn=Sn5•2n，若对一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求m的范围．

Answer 1

解：（1）不等式组x≥0y≥0nx+y≤4n（n∈N*）所表示的平面区域Dn的整点个数
∴an+1-an=10即{an}为等差数列
（2）∵{an}是首项为15，公差为10的等差数列
∴an=15+（n-1）×10=10n+5
（3）Sn=15+10n+52×n=5n2+10n
∴Tn=Sn5•2n=n(n+2)2n
∴Tn+1-Tn=(n+1)(n+3)2n+1-n(n+2)2n=3-n22n+1
当n≥2时，Tn+1-Tn＜0
即Tn≤T2=2≤m
∴m的取值范围为m≥2．