Question

高一数列问题！！！

设数列{a}的前n项和为S，b∈R，且满足ba-2^n=（b-1）S。
1.求证：当b=2时{a-n × 2^（n-1）}是等比数列。
2.求{a}的通项公式。

由于不是手写，所以说在这里数列a就是a加下面一个小n的意思，你懂得。
望大虾回答详细点，感激不尽！！！
你们什么速度啊- -汗，是我太笨了还是你们太聪明了。才几分钟就完事了.。。。受打击了- -

Answer 1

ban-2^n=(b-1)Sn
ba(n-1)-2^(n-1)=(b-1)Sn-1
相减得到：
b(an-a(n-1))－2^n+2^(n-1)=(b-1)an
整理：
an=ba(n-1)＋2^(n-1)
b=2时，
an=2a(n-1)＋2^(n-1)

an-n*2^(n-1)
＝2a(n-1)＋2^(n-1) -n*2^(n-1)
=2a(n-1)-(n-1)*2^(n-1)
=2*[a(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]
所以：（an-n*2^n-1)是等比数列.
公比为2

b=2时, an-n2^(n-1)=2^(n-1), ∴an=(n+1)2^(n-1)

b≠2时------------(这里是要讨论的,否则下面公比为0,无法求解)

ban-2^n=(b-1)Sn③

n=1时, ba1-2=(b-1)a1, ∴a1=2

n>1时, ba(n-1)-2^(n-1)=(b-1)S(n-1)④

③-④得 ban-ba(n-1)-2^(n-1)=(b-1)an

∴an-2^(n-1)=ba(n-1)

两边同除b^n得 an/b^n-(1/2)(2/b)^n=a(n-1)/b^(n-1)

∴an/b^n-a(n-1)/b^(n-1)=(1/2)(2/b)^n-----(1)

a(n-1)/b^(n-1)-a(n-2)/b^(n-2)=(1/2)(2/b)^(n-1)-----(2)

.......

a2/b^2-a1/b^1=(1/2)(2/b)^2----------(n-1)

(1)+(2)+...+(n-1)得 an/b^n-a1/b=(1/2)[(2/b)^2+...+(2/b)^(n-1)+(2/b)^n]

∴an/b^n-2/b=(1/2)×(2/b)^2×[1-(2/b)^(n-1)]/[1-2/b]=(2/b²)×b/(b-2)×[1-(2/b)^(n-1)]=2/b(b-2)×[1-(2/b)^(n-1)]

∴an-2b^(n-1)=2/(b-2)×[b^(n-1)-2^(n-1)]

∴an=[2+2/(b-2)]×b^(n-1)-2^n/(b-2)

综上,b=2时,an=(n+1)2^(n-1); b≠2时, an=[2+2/(b-2)]×b^(n-1)-2^n/(b-2)

希望对你有帮助
其实大家都一样 只是可能是我做的题比较多 LZ一开始可能是不熟悉 做多点题就会的了 熟能生巧嘛 LZ加油~！

Answer 2

ban-2^n=(b-1)Sn
ba(n-1)-2^(n-1)=(b-1)Sn-1
相减得到：
b(an-a(n-1))－2^n+2^(n-1)=(b-1)an
整理：
an=ba(n-1)＋2^(n-1)
b=2时，
an=2a(n-1)＋2^(n-1)

an-n*2^(n-1)
＝2a(n-1)＋2^(n-1) -n*2^(n-1)
=2a(n-1)-(n-1)*2^(n-1)
=2*[a(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]
所以：（an-n*2^n-1)是等比数列. 公比为2

Answer 3

ban-2^n=（b-1）Sn
当b=2时
Sn=2an-2^n
S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)-2^(n-1)
an=2a(n-1)+2^(n-1)
(1) an-n*2^(n-1)=2a(n-1)-n*2^(n-1)+2^(n-1)
=2[a(n-1)-n*2^(n-2)+2^(n-2)]=2[a(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]
所以{a-n×2^(n-1)}是公比为2的等比数列
(2) an=2a(n-1)+2^(n-1)
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
可见{an/2^n}是公差为1的等差数列
a1=S1=2a1-2 a1=2
an/2^n=a1/2^1+(n-1)*1=n
an=n*2^n 即为所求的通项公式