Question

高一的又一个数列问题！！！

已知等差数列{a}的前N项和为Sn，a1=1+√2，S3=9+3√2。
1.求数列{a}的通项公式an与前n项和Sn。
2设Bn=Sn/n（n ∈N*），求证：数列{Bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列。

望大虾详细点.真的是感激啊啊！谢谢

Answer 1

1.由s3=a1+a2+a3=3a2=9+3√2。得a2=3+√2,故公差d=2,所以an=2n-1+√2,sn=n(n+√2)
2.Bn=n+√2,假设存在三项am,an.ap(不妨设m<n<p,m、n、p∈N+)成等比数列，
则(an)²=am*ap,即（n+√2)²=（m+√2)(p+√2).化简得m²+p²=-mp<0,矛盾，故假设不成立，
所以原命题成立

Answer 2

（1）
S3=(a1+a3)*3/2=(a1+a1+2d)*3/2=2(a1+d)*3/2=2a2*3/2=3a2=9+3√2
所以a2=3+√2
d=a2-a1=2
所以an=a1+2(n-1)=√2-1+2n
Sn=(a1+an)*n/2=(2√2+2n)*n/2=n^2+2√2n

（2）
bn = Sn/n = n+√2
用反证法证明
假设bn中有不同的三项成等比数列，分别是第p,q,r
则 bp * br = bq * bq
即 (p+√2)(r+√2) = (q+√2)(q+√2)
pr + 2 + (p+r)√2 = q*q + 2 + 2q*√2
因为p,q,r都是正整数，而√2是无理数
所以有
pr = q*q
p + r = 2q
消去q , 得
(p-r)^2 = 0
解得 p = r
这与假设矛盾
所以任意不同的三项都不可能成为等比数列