Question

已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，试求：（1）x...

已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，试求： （1）xyz的值； （2）x4+y4+z4的值．

Answer 1

解：（1）由条件可得
（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）=1，
即
1=2+2（xy+yz+xz），∴xy+yz+xz=-
1
2
．
再根据
x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），
即3-3xyz=2+
1
2
，∴xyz=
1
6
．
（2）由题意可得
（x2+y2+z2）2=x4+y4+z4+2x2•y2+2y2•z2+2x2•z2=4，
∴x4+y4+z4
=4-2（x2•y2+y2•z2+x2•z2
）．
由于（x2•y2+y2•z2+x2•z2
）=（xy+yz+xz）2-2xyz（x+y+z）=(-
1
2
)2-2×
1
6
×1=-
1
12
，
∴x4+y4+z4
=4-2×（-
1
12
）=
25
6
．