Question

高二数学组合公式问题

C（n+1,m）=C（n,m）+C（n,m+1） 好像是这个公式吧，我也不是很熟，这个公式究竟是怎么来的？怎么推理？求高手详解(*^__^*)
C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n). 说错了，是这个公式，但我要的是逻辑推理，不是运算式的

Answer 1

a是n+1个元素中的一个元素
在n+1个元素中任取m个元素有C(m,n+1)种方法。
又所取的m个元素中可能含有a,也可能不含有a这两种情况。若m个元素中必须含有a，则有C(m-1,n)种取法；若m个元素中没有a，则有C(m,n)种取法。
根据等价性，因此C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n).

Answer 2

(!)C(m,n)=n!/[m!*(n-m)!].(!!)(m+1)!=(m+1)*m!.
因C(m,n)=n!/[m!*(n-m)!]=[(n+1-m)*n!]/[m!*(n+1-m)!].C(m-1,n)=n!/[(m-1)!*(n+1-m)!]=[m*n!]/[m!*(n+1-m)!].
故右边=C(m,n)+C(m-1,n)={[(n+1-m)*n!]/[m!*(n+1-m)!]}+{[m*n!]/[m!*(n+1-m)!]}={n!*[(n+1-m)+m]}/[m!*(n+1-m)!]=(n+1)!/[m!*(n+1-m)!].
左边=C(m,n+1)=(n+1)!/[m!*(n+1-m)!].
故左边=右边
即C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n).

Answer 3

有个很直观的解释
杨辉三角就是n次多项式的各个系数咯，其规律不就是上面两个相邻数的和=下面的数，用符号表示出来就是你说的公式