Question

函数存在极值求a的取值范围

已知函数 ，其中a∈R． （1）若f（x）在x∈R时存在极值，求a的取值范围； （2）若f（x）在 上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）求出函数的导函数，通过讨论当a=0时，当a≠0时，△=a 4 -8a≤0函数单调，不存在极值，其对立面即为f（x）在x∈R时存在极值时a的取值范围； （2）将f（x）在 上是增函数，转化为f′（x）≥0在（-1， ]恒成立，结合二次函数的图象，通过对对称轴及区间端点值的限制，列出不等式组求出a的范围． 【解析】 由f（x）= x+2 （1）①当a=0时，f'（x）=2＞0 ∴f（x）单调递增， ∴f（x）不存在极值 ②当a≠0时，△=a 4 -8a≤0，即0＜a≤2，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立 ∴f（x）不存在极值a的范围为0≤a≤2 ∴f（x）存在极值a的范围为a＜0或a＞2． （2）由题意f′（x）≥0在（-1， ]恒成立 ①当a=0时f'（x）=2＞0恒成立 ∴a=0合题意 ②当a＜0时 ∴ ≤a＜0 ③当a＞0时f'（x）的对称轴为x= ． 若0＜ -8a≤0即0≤a≤2 ∴0＜a≤1 若 ]为单减函数 +2≥0． ∴ 综上：①②③得：f（x）在[-1， ]上为增函数， a的取值范围是