Question

在三角形ABC中,sinA=sinB+sinc/cosB+cosC,判断三角形的...

在三角形ABC中,sinA=sinB+sinc/cosB+cosC,判断三角形的形状 感觉构造2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2.有难度~求简便方法 貌似听老师说角化边?我算不出来啊·数太大了.可能我算错了吧~

Answer 1

设三角形外接圆半径为R,三角形三边为a、b、c
根据正弦定理、余弦定理
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
代入原式：
a/2R=(b/2R+c/2R)÷[(a^2+b^2-c^2)/2ab+(a^2+c^2-b^2)/2ac]
化简上式：
a=(b+c)÷[(a^2+b^2-c^2)/2ab+(a^2+c^2-b^2)/2ac]
=2abc(b+c)÷[(a^2+b^2-c^2)c+(a^2+c^2-b^2)b]
即
2bc(b+c)÷[(a^2+b^2-c^2)c+(a^2+c^2-b^2)b]=1
2bc(b+c)=(a^2+b^2-c^2)c+(a^2+c^2-b^2)b
分解抵消得
bc(b+c)=a^2c-c^3+a^2b-b^3
=a^2(b+c)-(c^3+b^3)
=(b+c)(a^2-b^2-c^2+bc)
则bc=a^2-b^2-c^2+bc
a^2=b^2+c^2
△ABC为直角三角形a为直角边