Question

已知函数f(x)=2lnx+½ax²-(2a-1)x,讨论f(x)的单调性？

Answer 1

F(x)=ax2-2lnx
x>0，且x≠1
求导：
F’（x）=2ax-2/x=2（ax2-1）/x
讨论：一、a=0，F’（x）=2（ax2-1）/x=-2/x
1、x>0，F’（x）＜0，函数单调递减
2、x＜0，F’（x）＞0，函数单调递增二、a＞0，F’（x）=2（ax2-1）/x
1、x>0，ax2-1＞0，x2＞1/a，x>√（1/a）时
F’（x）＞0，函数单调递增
2、x>0，ax2-1＜0，x2＜1/a，√（1/a）＞x>0时
F’（x）＜0，函数单调递减
3、x＜0，ax2-1＜0，x2＜1/a，-√（1/a）＜x＜0，此时
F’（x）＞0，函数单调递增
4、x＜0，ax2-1＞0，x2＞1/a，x＜-√（1/a）时
F’（x）＞0，函数单调递减三、a＜0，F’（x）=2（ax2-1）/x
1、x>0，ax2-1＞0，无解
2、x>0，ax2-1＜0，x2＞1/a，x>0时
F’（x）＜0，函数单调递减
3、x＜0，ax2-1＜0，x2＞1/a，x＜0时
F’（x）＞0，函数单调递增
4、x＜0，ax2-1＞0，无解