Question

线性代数的线性变换

什么是线性变换？
刚刚自学线性，很多概念不懂，学得好吃力。多谢帮忙。

Answer 1

设v、w是两个线性空间。一个v至w的线性映射T，就称为v至w的线性变换。
线性变换必须满足任意的x，y∈v 及任意实数a，b，有 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)
如恒等变换 I 。v→v，对任意的x∈v，有 I(x)=x
因为 I(ax+by)=ax+by= a I(x)+b I(y) 满足 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)所以 I 是线性变换。
几何上恒等变换不改变图形的大小和位置。其在常用基下对应的矩阵为单位矩阵E。
是不是线性变换就通过看是否满足T（ax+by）=aT（x）+bT(y)来验证。
同理 旋转变换、伸缩变换（几何上表现为扩大缩小图形 X=kx;Y=ky）、切变变换（几何上表现为X=x+ky;Y=y+kx)、投影变换(投影在x或y轴上）、反射变换（几何上表现为关于某条直线对称）、零变换（O）等都是线性变换。
若一个变换是由几个线性变换复合而成，该变换也为线性变换。
学到后面基本都是考线性变换对应的矩阵的相关计算及应用。