Question

有关定积分的简单问题，题目如图所示，求详解

Answer 1

先换元，再利用洛必达法则和已知条件可以求出结果。

Answer 2

lim<x→0>f(x)/x = 1. 得 lim<x→0>f'(x)/1 = f'(0) = 1；
令 x-t = u，则 t = x-u, dt = -du, 得
lim<x→0>x∫<下0, 上x>f(x-t)dt/∫<下0, 上x>tf(x-t)dt
= lim<x→0>x∫<下x, 上0>f(u)(-du)/∫<下x, 上0>(x-u)f(u)(-du)
= lim<x→0>x∫<下0, 上x>f(u)du/[x∫<下0, 上x>f(u)du-∫<下0, 上x>uf(u)du] (0/0)
= lim<x→0>[∫<下0, 上x>f(u)du+xf(x)]/∫<下0, 上x>f(u)du (0/0)
= lim<x→0>[2f(x)+xf'(x)]/f(x)
= 2 + lim<x→0>f'(x)]/[f(x)/x] = 3