Question

正数a，b，c满足a/(b+c)+c/(a+b)=b/(a+c)，求b/(a+c)的最小值。

Answer 1

解：
对条件式令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则
a=(x-y+z)/2,b=(x+y-z)/2,c=(-x+y+z)/2
故条件式等价于
(x+y-z)/2z=(-x+y+z)/2x=(x-y+z)/2y
→(x+y)/z=(y+z)/x+(x+z)/y-1
≥z/x+z/y+1
≥4z/(x+y)+1
令t=(x+y)/z,则
t≥(4/t)+1
→t≥(1+根17)/2,t≤(1-根17)/2(舍)
故(x+y-z)/2z=(t-1)/2≥(-1+根17)/4.
取等号得b/(a+c)min=(-1+根17)/4.

Answer 2

b/(a+c)=a^2/a(b+c)+c^2/c(a+b)
≥(a+c)^2/[2ac+b(a+c)]
≥(a+c)^2/[(a+c)^2/2+b(a+c)]
=1/[1/2+b/(a+c)]。
解得b/(a+c)≥(-1+根17)/4.