Question

高三函数数学题，求详解

设f(x)=√x,g(x)=-x+a(a＞0,a∈R),若不等式▏{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)▕ ≤1对x∈[1,4]恒成立，求a的取值范围。小弟拜谢！！！！！！！！！！！！！
√是根号，分子是f(x)+a[g(x)-2a]，分母是f(x)

Answer 1

这个可以用基本不等式。
首先：{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)＝1－（a√x+a^2/√x）
由于a>0,所以a√x+a^2/√x > =2√(a^3) > 0
当且仅当x=a时，取等号
要使▏{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)▕ ＝▕ 1－（a√x+a^2/√x）▕ <=1
则 0 =<a√x+a^2/√x<=2
令F(x)=a√x+a^2/√x
函数F(x)是一个对勾函数的一半
本题中只要0=<F(1)<=2 0=<F(4)<=2即可
解得0<a<=2(√2 -1 )
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Answer 2

{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x) = 1+a(x+a-2a)/√x = 1+a√x-2a^2
=> -1 < 1+a√x-2a^2 < 1
因为 a>0,
a<a√x<2a => 1+a-2a^2 < 1+a√x-2a^2 < 1+2a-2a^2
因为恒成立,
1+a-2a^2>1
1+2a-2a^2<1
=>a-2a^2>0
2a-2a^2<0
因为a>0，
两边/a
=》a<1/2
a<1
=> 0<a<1

追问

不对吧，g(x)=—x+a
而且1+a(-x+a-2a)/√x = 1-a√x-（a^2）/√x

追答

{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x) = 1+a(-x+a-2a)/√x = 1+a√x-2a^2
=> -1 0,
-2a 1-2a-2a^2 -1
1-a-2a^2-2a-2a^2>-2
-a-2a^2a^2+a-1(a+1/2)^2-根号5/2 0 < a < 根号5/2 -1/2

没看见那个减号………………

不过你第二行那个是什么……

Answer 3

看不懂