Question

已知:f(x)=-(sinx)^2+sinx+a

当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围.

【要详细解题过程。谢谢。】

Answer 1

f(x)=-(sinx)^2+sinx+a=0
a=(sinx)^2-sinx
有解
所以我们只需要求出(sinx)^2-sinx的取值范围即可
设g(x)=(sinx)^2-sinx=(sinx)^2-sinx+1/4-1/4=(sinx-1/2)^2-1/4
因为sinx∈[-1,1]
所以g(x)最大=(-1-1/2)^2-1/4=9/4-1/4=2
g(x)最小=-1/4
所以a∈[-1/4,2]

Answer 2

设sinx=t
-t^2+t+a=0
开口向下，有实数解
则德尔塔>=0
1+4a>=0
4a>=-1
a>=-1/4

Answer 3

f(x)=-(sinx)^2+sinx+a =-(sinx -1/2)^2 +1/4 +a
-1 <= sinx <= 1
-3/2 <= sinx -1/2 <=1/2
0 <= (sinx -1/2)^2 <=9/4
f(x)=0
0=-(sinx -1/2)^2 +1/4 +a
1/4 +a = (sinx -1/2)^2
0<= 1/4 +a <=9/4
-1/4 <= a <= 2

Answer 4

解：设sinx=y
y^2-t-a=0
有实数解，判别式△≥0
1+4a≥0
a>=-1/4
y=(1±√（1+4a))/2
注意到-1≤y≤1
故-1≤(1±√（1+4a))/2≤1
联合解得-1/4≤a≤0

Answer 5

解：方程f(x)=0就是：sin²x-sinx=a.===>[sinx-(1/2)]²=(4a+1)/4.∵-1≤sinx≤1.∴0≤[sinx-(1/2)]²≤9/4.即0≤(4a+1)/4≤9/4.===>-1/4≤a≤2.即a∈[-1/4,2].