Question

[求助]高三数学导数问题

1. 已知函数y=x³-3x，则函数f(x)在区间 [-2,2]上的最大值是多少？
2. 函数f(x)= 1/2(e^x+e^-x)的极小值点是多少？
3.f(x)=x³-27x的极大值和极小值分别是多少？

还想问下 x²-x-4=0 怎么求出x的值？
大家都回答得很好，astrofan还有图片真详细，谢谢你们了

Answer 1

1、y′＝3x^2－3，令y′＝0，解得：x＝±1，
　　而f（－2）＝－6，f（－1）＝2，f（0）＝0，f（1）＝－2，f（2）＝2。
　　∴f（x）在［－2，2］上的最大值是2。
2、令f′（x）＝［e^x－e^（－x）－1］/2＝0，得：e^（2x）－2e^x＝1，即：（e^x－1）^2＝2，
　　∴e^x＝1±√2，显然，e^x＞0，∴x＝ln（1＋√2）。
　　此时，f（x）＝［1＋√2＋1/（1＋√2）］/2－（1＋√2）
　　　　　　　 ＝［1/（1＋√2）－（1＋√2）］/2
　　　　　　　 ＝［1－（1+√2）^2］/2（1＋√2）＝［√2－1＋（1＋√2）］/2＝√2
　　又f′′（x）＝［e^x＋e^（－x）］/2＞0，因此，函数的极小值点是［ln（1＋√2），√2］。
3、f′（x）＝3x^2－27，f′′（x）＝6x。
　　令f′（x）＝3x^2－27＝0，得：x＝±3。
　　而f′′（3）＝6×3＞0，f′′（－3）＝6×（－3）＜0。
　　∴函数的极大值是f（－3）＝（－3）^3－27×（－3）＝2×27＝54
　　　函数的极小值是f（3）＝3^3－27×3＝－54

说明：f′′（x）是二阶导数，即对f′（x）再求一次导数，当f′′（x）＜0时，函数有极大值，
　　　当f′′（x）＞0时，函数有极小值。

＊、当x^2－x－4＝0时，可用配方法或求根公式法解出x。
　　配方法：
　　［x^2－2×（x/2）＋（1/2）^2］＝4＋（1/2）^2＝17/4
　　∴（x－1/2）^2＝17/4，∴x－1/2＝±√17/2，得：x＝（1±√17）/2
　　求根公式法：
　　x＝｛1±√［（－1）^2－4×1×（－4）］｝/2＝（1±√17）/2

Answer 2

y'=3x^2-3=0

Answer 3

1.分别求出一阶，二阶导数y'=3x^2-3，y''=6x;令y‘=0，解得x=正负1.为f(x)在区间上的极值点，x=-1时y''=-6, y=2,为极大值点，y在区间两个端点的值分别为-2,2，所以最大值为2;
2.3.分别求出一阶、二阶导数，令一阶导数等于零，解出相应x的值，代入二阶导数y''中，y''>0则为极小值点，y''<0则为极大值点。

Answer 4

请看图片。注意验算一下，以妨我计算出错。