Question

已知方程sinx+cosx=m,且x属于[0,π],当m为何值时,1、方程有解 2、方程有一解 3、有两个不同的解

要过程。谢啦。

Answer 1

m=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
0≤x≤π
π/4≤x+π/4≤5π/4
所以-√2/2≤sin(x+π/4)≤1
故-1≤m≤√2
对于1问，当-1≤m≤√2时方程有解

画出上面范围的图像，易知当π/4≤x+π/4≤3π/4，但不能等于π/2时，即此时1≤m＜√2
方程有两解

当x+π/4=π/2或3π/4＜x+π/4≤5π/4,即此时m=√2或-1≤m＜1时
方程有一解。

Answer 2

1.sinx+cosx=√2sin(x+π/4),x∈【0，π]时，x+π/4∈【π/4，5π/4】，√2sin(x+π/4)∈【-1,√2]
故m∈【-1,√2]时，方程有解。

2.结合图像知，当m∈【-1，1）U{√2}时，方程由一解。
3.当m∈【1，√2）时，方程有两解。

Answer 3

sinx+cosx=m
√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=m
√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=m
√2sin(x+π/4)=m
-1<=sin(x+π/4)<=1,x属于[0,π],
0<=sin(x+π/4)<=1
0<=√2sin(x+π/4)<=√2

1、当0<=m<=√2时方程有解
2、当m=√2时方程有一解
3、当0<=m<√2时有两个不同的解