Question

高中物理竞赛问题，高手进

原题如下
一条曲线上的每一点的切线与x，y轴的正半轴的交点间的距离恒为a，求其曲线方程。
（提示：可用物理运动学方法解决，数学方法亦可。）

Answer 1

设曲线上任意点(x。,y。)的切线与x轴负向夹角为A(都是正轴，显然A是锐角),则
截距平方和＝(x。+y。/tanA)^2+(x。*tanA+y。)^2=a^2。
对A求导，得到tan A=(y。/x。)^(1/3)带回截距和拆开然后合并同类项，可得：x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) （x>0）为所求。
此题还有其他办法，不过高中生就不太好理解了

Answer 2

图呢？

Answer 3

y=a-x

Answer 4

直角坐标系，第一象限，有一线段MN长为a，其上有一点P分线段MP=λPN （λ为大于0的常数）
线段由靠着y轴开始滑动（下端向右，上端向下），P点的运动轨迹可以看做所求曲线
M（0，y1） N（x1，0） 有x1²+y1²=a²
P（x，y）=(λx1/(1+λ)，y1/(1+λ))
所以有[(1+λ)/λ*x]²+[(1+λ)*y]²=a²
曲线方程：[(1+λ)/λ*x]²+[(1+λ)*y]²=a² （λ为大于0的常数，只要第一象限内的部分）

追问

给的答案是x^（2/3）+y^（2/3）=a^（2/3）
求过程！！！！

追答

那我就不知道了！不好意思

Answer 5

人才，将X，Y轴看成两根垂直相交的细杆，将切线与X，Y轴的焦点之间的距离看成长度恒为a的带套轻杆，这样不论轻杆怎么运动，都满足题意，又细杆相互垂直，所以三竿形成直角三角形，所以有X²+Y²=a².............①，切点肯定在轻杆上，设其坐标为P（m，n）=(λX/(1+λ)，Y/(1+λ))则有X=m(1+λ)/λ，Y=n(1+λ)代入①得【m(1+λ)/λ】²+【n(1+λ)】²=a²（λ为大于0的常数）

Answer 6

人才，将X，Y轴看成两根垂直相交的细杆，将切线与X，Y轴的焦点之间的距离看成长度恒为a的带套轻杆，这样不论轻杆怎么运动，都满足题意，又细杆相互垂直，所以三竿形成直角三角形，所以有X²+Y²=a².............①，切点肯定在轻杆上，设其坐标为P（m，n）=(λX/(1+λ)，Y/(1+λ))则有X=m(1+λ)/λ，Y=n(1+λ)代入①得（m(1+λ)/λ）²+（n(1+λ)）²=a²（λ为大于0的常数）
也可求导函数，节距。。。。。。。。。。。。。。。。。。。